导数的定义是什么？导数公式怎么推？

1. 导数的定义：导数描述了一个函数在某一点处的变化率，即该函数图像上某点切线的斜率。具体来说，对于函数y=f(x)，其在x=a处的导数f'(a)定义为：

$$ f'(a) = \lim_{{\Delta x} \to 0} \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x} $$

当这个极限存在时，函数在x=a处是可导的。

2. 导数公式的推导：导数的基本公式是通过极限的定义来推导的。例如，对于函数y=x^n，其导数y'可以表示为：

$$ y' = \lim_{{\Delta x} \to 0} \frac{(x + \Delta x)^n - x^n}{\Delta x} $$

通过二项式定理展开并简化，可以得到：

$$ y' = \lim_{{\Delta x} \to 0} \frac{nx^{n-1}\Delta x + \binom{n}{2}x^{n-2}\Delta x^2 + \cdots}{\Delta x} $$

当Δx趋近于0时，除了第一项以外的所有项都趋近于0，因此：

$$ y' = nx^{n-1} $$

这就是幂函数的导数公式。

以上是对导数定义和推导的一个简明扼要的解释。