为了确定点A的坐标，我们首先以点A为顶点，做一条垂直于X轴的线段AH，交X轴于点H。由于角AOB等于60度，且OA的长度为2，我们可以推断角OAH为30度。

在直角三角形中，30度角的对边等于斜边的一半。因此，OH的长度为1，而AH的长度可以通过勾股定理计算得出，即AH = √(OA² - OH²) = √(2² - 1²) = √3。所以，点A的坐标是（1，√3）。

接下来，我们过点A做一条垂直于Y轴的线段AD，交Y轴于点D。由于三角形ADC与三角形OBC相似，同时三角形ABH与三角形OBC也相似，我们可以推断三角形ADC与三角形ABH也相似。

根据相似三角形的性质，我们有CD/AH = DA/HB。将已知的AH = √3代入，得到CD = (1/2) × √3 = √3/2。又因为AH平行于Y轴，所以OD = AH = √3；而AD平行于X轴，所以AD = OH = 1。

最后，OC的长度是CD与OD的和，即OC = CD + OD = (3√3)/2。因此，三角形AOC的面积可以通过公式(底 × 高)/2计算得出，即(3√3/2 × 1)/2 = (3√3)/4。