在2023年的新高考数学试卷中，一道压轴题考察了动点轨迹的求解以及矩形周长的不等式证明，题目的关键思路可以归纳为以下三种方法：

首先，通过抛物线上的三个特殊点，利用对称性和斜率，构造方程组来确定轨迹方程，然后结合矩形的性质和三角不等式来证明矩形周长大于某个值。

第二种方法，通过设定直线的倾斜角，利用参数方程和抛物线方程的联立，利用定理和不等式关系，同样证明矩形周长大于预期值。

最后，通过引理证明，即过抛物线上任一点作法线，其被抛物线截得的最短线段长度，结合矩形点的位置变化，得出矩形周长的下界，从而完成证明。

这些不同的思路展示了在解决这类题目时的灵活性和多样性，考生可以根据题目条件选择最合适的解题路径。