在“平行与正交”一节的末尾，我们提到正交张量可以用两个无穷远处的“复数点”的对称积构成，[公式] 。在通常的坐标下 [公式] 。接下来，我们会经常使用这两个复数点。限于我的水平，我不会处理含复数的点。因此在全文中，我将把这类点当作实数的点看待，并不管它的坐标是否是复数。经验证明，一般情况下它是否有虚部并没有什么影响。

在这一节中，我们考虑如何用三维矢量方法定义焦点和准线，这一定义会与我们在解析几何中使用的定义有所不同。用三维矢量定义的焦点共有6个，而解析几何中的焦点只有2个。这6个焦点中，有2个在无穷远，有2个坐标为虚数，只有剩下的2个我们可以在解析几何的平面内看见。剩下的这2个就是我们通常处理的焦点。

定义：设 [公式] 为圆锥曲线， [公式] 为垂直结构，则 [公式] 称为焦点方程。

这个方程属于线性代数学中的特征值方程，[公式] 称为特征值。在3维空间中， [公式] 是3次的，因此这个方程是关于[公式]的3次函数，共有3个解。[公式]是一个退化的张量， [公式] ，因此明显 [公式] 是其中的一个解。剩下的是一个二次方程，可以求出这两个解 [公式] ，不妨设 [公式] 。规范的选择可以使 [公式] 分别乘以任意的常数，这导致 [公式] 会随着规范变化。然而，比值 [公式] 却是规范无关的（因此它有几何意义），因此我们可以定义 [公式] ，称为圆锥曲线的离心率。

[公式]分别对应两个行列式为0的张量 [公式] , [公式] （显然它们是规范无关的）。一个（2,0）型对称张量的行列式为0，意味着它能写成两个点的对称积，因此我们设 [公式] ，并称 [公式] 为圆锥曲线的焦点。类似地，因为[公式]是 [公式] 对应的张量，它和 [公式] 的性质是相似的。于是我们把 [公式] 也当作圆锥曲线的焦点。这样一来，圆锥曲线有[公式]共6个焦点。

焦点方程是特征值方程，特征值 [公式] 有3个解 [公式] ，[公式]称为离心率。每个特征值 [公式] 对应的特征向量称为主轴，分别记为 [公式] ，分别称为x主轴、y主轴、无穷远直线，这三条直线两两关于椭圆共轭（可自行证明）。每个特征值[公式]对应一个退化二阶线束 [公式] ，其线束中心[公式]称为焦点。主轴是配对的焦点的连线。

这条圆锥曲线当[公式] 时称为椭圆， [公式] 时称为抛物线， [公式] 时称为双曲线。特殊地，当 [公式] 时称为圆（即特征方程有重根）， [公式] 时称为等轴双曲线。

焦点方程与常规的定义是吻合的。设椭圆[公式] ，则 [公式] 。因为 [公式] ，所以 [公式] ， [公式] ，因此 [公式] ，确实 [公式] 。把 [公式] 代入，得到 [公式] 。乘以常数后写成 [公式] 。因此它是两个点 [公式] 的对称积。因此，两个焦点的坐标分别是 [公式] 。这是我们所熟知的。

如果把[公式] 代入，会得到 [公式] ，即 [公式] 。因此 [公式] ，这两个焦点在y轴上，它们的直角坐标是 [公式] ，这是我们在解析几何中看不到的。无穷远处的[公式]自然也看不到。所以，解析几何中，我们通常考虑的焦点是在x轴上的两个焦点[公式]。

我们现在的材料有[公式] ，如图。现在来研究如何用几何手段构造焦点。我们从焦点方程出发，寻求 [公式] 的几何意义。最简单的方式是从曲线系入手。曲线系理论告诉我们，由两条曲线生成的曲线系必定经过这两条曲线的交点。 [公式]也可以看成是 [公式] 生成的曲线系，因此，[公式] 也必定包含这四条直线。同时，因为 [公式] ， [公式] 应该是一个退化二次线束。而这只有两种可能：或者由D、E两点构成，或者由F、G两点构成。而这恰好是 [公式] 对应的两对焦点。

有了这些作为工具之后，我们就可以仅仅连几条线而解决许多涉及到焦点的问题。比如下面的例题：F是椭圆的焦点，过F作直线交椭圆于A、B，求证：A、B处的切线交于准线上的H点，且AF与FH垂直。证明：因为H的极线AB经过F，所以F的极线经过H。故H在准线上。因为AB的极点H在直线FH上，因此直线AB、FH关于椭圆共轭。这样一来，我们只需要证明：过F点的两条直线共轭当且仅当它们垂直。

我们借用坐标系来计算。因此 [公式] ，[公式] ，[公式] 。设过Z、Z’两点的各两条切线得到的交比（即直线[公式] 的交比）为 [公式] ，则可利用第十节附录给出的公式： [公式] 得到 [公式] 。因此我们直观地看到了离心率的体现。我们可以考虑几个特殊情况，如等轴双曲线、抛物线、圆等。

在这一节里，我们使用三维矢量以及射影几何的手段构造了椭圆的6个焦点和6条准线。这种手段能简单地处理某些解析几何中复杂的结论，但处理某些解析几何中最简单的东西却十分棘手。因此，这一节的目的是提供有关焦点的平台与大致图像，而它具体能解决什么问题还需要进一步讨论。