在初中数学中，圆是一个重要的几何图形，它涉及到许多基本概念和性质。首先，了解圆的定义和相关术语至关重要。确定一个圆的要素是圆心和半径。连结圆上任意两点的线段称为弦，而经过圆心的弦则被称为直径。圆上任意两点之间的部分称为圆弧，简称弧，其中小于半圆周的圆弧称为劣弧，大于半圆周的圆弧称为优弧。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧被称为等弧。顶点在圆上，并且两边和圆相交的角称为圆周角。通过三角形的三个顶点可以画出一个唯一的圆，这个圆被称为三角形的外接圆，其圆心即为外心，是三角形各边中垂线的交点。对于直角三角形，其外接圆的半径等于斜边的一半。而与三角形各边都相切的圆称为三角形的内切圆，其圆心即为内心，是三角形三条内角平分线的交点。直角三角形内切圆半径满足特定的公式。

接下来，我们探讨圆的性质。在同圆或等圆中，如果圆心角相等，则它所对的弧、弦以及弦心距也都相等。垂径定理指出，垂直于弦的直径会平分这条弦，并平分弦所对的两条弧。此外，平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧。弦的垂直平分线穿过圆心，并平分弦所对的两条弧。圆的两条平行弦所夹的弧也相等。圆周角定理指出，一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，反之亦然。半圆或直径所对的圆周角都等于90度，90度的圆周角所对的弦是圆的直径。如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

切线的判定和性质是另一个重要方面。经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。圆的切线垂直于经过切点的半径，而经过圆心且垂直于切线的直线必定经过切点。从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆。圆的切线上某一点与切点之间的线段长度称为这点到圆的切线长。圆内接四边形对角互补，一个外角等于内对角。圆外切四边形对边和相等。弦切角定理表明，弦切角等于它所夹弧对的圆周角。与圆有关的比例线段包括相交弦定理和切割线定理。两圆相切时，连心线过切点；两圆相交时，连心线垂直平分公共弦。