正余弦定理若干推论的探究与应用

（一）探究目的

正弦定理和余弦定理是高中数学中重要的三角公式，它们具有广泛的应用。而在教材中对它们的研究却比较单一。在学习上，为了开拓视野，更加体会到数学灵活多变的奥妙，我们有必要结合三角变换的知识对其进行总结、探究及延伸。因此，我们探究了它的一些变式以及应用。

（二）探究过程、应用及结论

（1）正余弦定理

1、正弦定理：a/ sinA＝b/ sinB＝c/ sinC =2R

2、余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bcCosA CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc

b^2=a^2+c^2-2acCosB CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac

c^2=a^2+b^2-2abCosC CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

（2）正余弦定理的推论

设三角形ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则

推论1、acosA+bcosB = ccos(A-B)≤C．．．．．．①

bcosB+ccosC = acos(B-C) ≤ a．．．．．．②

acosA+ccosC = bcos(A-C) ≤b．．．．．．③

证明：由正弦定理得，

acosA+bcosB

=2RsinAcosA+2RsinBcosB

=R(2sinAcosA+2sinBcosB)

=R(sin2A+sin2B)

=R{sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)-(A-B)]}

=R[sin(A+B)cos(A-B)+cos(A+B)sin(A-B)+sin(A+B)cos(A-B)-cos

(A+B)sin(A-B)]

=2Rsin(A+B) cos(A-B)

=2Rsin(�-C) cos(A-B)

=2RsinC cos(A-B)

=Ccos(A-B)

又A、B∈（0，�）,-1≤cos(A-B) ≤1

∴ccos(A-B)≤C,当且仅当A=B时取等号.

同理,由三角形三边和三个角的对称性可证②③式.

应用:在⊿ABC中,求证:cosAcosBcosC ≤1/8

证明：①当⊿ABC为钝角三角形或直角三角形时，cosA、cosB、cosC其中必有一个小于等于0，故结论成立.

②若⊿ABC为锐角三角形时,由推论(1)及均值不等式得

a≥bcosB+ccosC≥2倍根号bcosBccosC＞0．．．．．．①

b≥acosA+ccosC≥2倍根号acosAccosC＞0．．．．．．②

C≥acosA+bcosB≥2倍根号acosAbcosB＞0．．．．．．③

①×②×③得abC≥8abCcosAcosBcosC

∴cosAcosBcosC≤1/8

结论：①在三角形中，任意两边与其对角的余弦值的和等于第三边与两

边的对角差的余弦的积，小于或等于第三边。

②三角形三个角的余弦值的积恒小于或等于1/8.

③观察式子，我们可以得出

a、若已知三角形中的两角以及对应两边，可知第三边的取值范围或最小值。

b、若已知三角形中的两角，可知三边之间的数量关系。

推论2、c/(a+b)=sin(C/2)/cos[(A-B)/2] ≥sin(C/2) ．．．．．．①

b/(a+c)=sin(B/2)/cos[(A-C)/2] ≥sin(B/2) ．．．．．．②

a/(b+c)=sin(A/2)/cos[(B-C)/2] ≥sin(A/2) ．．．．．．③

证明：由正弦定理，

c/(a+b)=（2RsinC）/[2R(sinA+sinB)]

=sin(�-c)/(sinA+sinB)

=sin(A+B)/ (sinA+sinB)

=sin[(A+B)/2+(A+B)/2]/{sin[(A+B)/2+(A-B)/2]+

sin[(A+B)/2-(A-B)/2]}

={2sin[(A+B)/2]cos[(A+B)/2]}/{ sin[(A+B)/2]cos[(A- B)/2]+sin[(A-B)/2]cos[(A+B)/2]+sin[(A+B)/2]cos

[(A-B)/2]—sin[(A-B)/2]cos[(A+B)/2]}

={2sin[(A+B)/2]cos[(A+B)/2]}/{2sin[(A+B)/2]cos[(A- B)/2]}

=cos[(A+B)/2]/ cos[(A-B)/2]

=sin[�/2—(A+B)/2]/ cos[(A-B)/2]

=sin(C/2)/cos[(A-B)/2]

又A、B∈（0，�） ∴ 0＜cos[(A-B)/2] ≤1

∴sin(C/2)/ cos[(A-B)/2]≥sin(C/2), 当且仅当A=B时取等号.

同理可证②③式.

应用：已知在⊿ABC中，设a+c=2b，A-C=60度，求sinB.

解：由题设和推论2可知，

b/(a+c)=b/2b=1/2=sin(B/2)/[cos(A-C)/2]=sin(B/2)/cos(�/6)

∴sin(B/2)=（根号3）/4

∴cos(B/2)=根号(1-sin(B/2)^2)= （根号13）/4

∴sinB=2 sin(B/2) cos(B/2)= （根号39）/2

结论：①在三角形中，任意一边与另外两边和的比值，等于该边的

半对角的正弦与另两边的对角差半角的余弦，这是模尔外得公

式的其中一组。

②应用：

a、求解斜三角形未知元素后，可用它验算。

b、若已知三边可求角的最大值。

推论3、a≥2(根号bC)sin(A/2) ．．．．．．①

b≥2(根号aC)sin(B/2) ．．．．．．②

c≥2(根号ab)sin(C/2) ．．．．．．③

证明：∵(b-c)^2≥0 ∴b^2+c^2≥2bc

由余弦定理，a^2= b^2+c^2-2bccosA≥2bc-2bccosA

=2bc(1-cosA)=4bcsin(A/2)^2

∴a≥2(根号bC)sin(A/2), 同理可证②③式.

应用：在⊿ABC中，已知A=�/3，a=10，求bC的最大值。

解：由题设和推论3可知，10≥2(根号bC)sin(60度/2)

∴（根号bC）≤10 ∴bC≤100

故bC的最大值为100.

结论：①在三角形中，任意一边大于或等于另外两边二次方根的二倍与

该边的半对角正弦的积。

②应用：

a、已知两边和一角可求该角所对边的取值范围或最小值。

b、已知一边以及其对角可求另两边乘积的最大值。

C、已知三边可求角的最大值。

推论4、（a^2- b^2）/ c^2= (sinA^2-sinB^2)/ sinC^2……①

（b^2- c^2）/ a^2= (sinB^2-sinC^2)/ sinA^2……②

（a^2- c^2）/ b^2= (sinA^2-sinC^2)/ sinB^2……③

证明：由正弦定理得，

（a^2- b^2）/ c^2=[4R^2（sinA^2-sinB^2)]/（ 4R^2*sinC^2）

=(sinA^2- sinB^2)/ sinC^2

同理可证②③式.

应用：在⊿ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，证明：

（a^2- b^2）/ c^2=sin（A-B）/sinC

证明：由题设和推论4可知，

（a^2- b^2）/ c^2

=(sinA^2- sinB^2)/ sinC^2

=（sinA+sinB）（sinA-sinB）/sinC^2

={sin[(A+B)/2+(A-B)/2]+sin[(A+B)/2-(A-B)/2]}{sin[(A+B)/2+

(A-B)/2]—sin[(A+B)/2-(A-B)/2]}/{sinCsin[�—（A+B)]}

={2sin[(A+B)/2] cos[(A-B)/2]}{2cos[(A+B)/2]sin[(A-

B)/2]}/[sinCsin(A+B)]

={2sin[(A+B)/2] cos[(A+B)/2]}{2sin[(A—B)/2] cos[(A-

B)/2]}/[sinCsin(A+B)]

=[sin(A+B)sin(A—B)]/ [sin(A+B) sinC]

=sin(A—B)/ sinC

结论：①在三角形中，任意两边的平方差与第三边的平方之比等于

两边对角正弦的平方差与第三边对角的正弦的平方之比。

推论5、sinA^2= sinB^2+sinC^2-2sinBsinCcosA……①

sinB^2= sinA^2+sinC^2-2sinAsinCcosB……②

sinC^2= sinB^2+sinA^2-2sinBsinAcosC……③

证明：由正弦定理和余弦定理得，

（2RsinA）^2=（2RsinB）^2+（2RsinC）^2-2（2RsinA

（2RsinB）cosA

化简得sinA^2= sinB^2+sinC^2-2sinBsinCcosA

同理可证②③式.

应用：求（sin10度）^2+(sin50度)^2+sin10度sin50度的值.

解:构造⊿ABC，使A=10度，B=50度，C=120度，应用推论5得

原式=（sin10度）^2+(sin50度)^2-（-1/2）×2sin10度sin50

度

=（sin10度）^2+(sin50度)^2-2sin10度sin50度cos120度

=（sin120度）^2

=3/4

结论：①在三角形中，任意角正弦的平方等于另外两角正弦的平方

和减去2倍两角正弦与该角余弦的积。

②应用：

a、若已知任意两角角度或正弦，可求另外一角余弦及角度。

b、若式子（sinA）^2+(sinB)^2+sinAsinB满足A+B=�/3，则

其值恒为3/4.

C、若存在形如sinB^2+sinC^2-2sinBsinCcosA的式子，其值为

sinA^2.

推论6、a=bcosC+ccosB……① b=acosC+ccosA……②

c=acosB+bcosA……③

证明：由余弦定理得，

b^2+c^2=(c^2+a^2-2accosB)+(a^2+b^2-2abcosC)

化简得a=bcosC+ccosB

同理可证②③式成立.

应用：已知�、�∈（0，�/2），且3（sin�）^2+2（sin�）^2=1，

3sin2�-2Sin2�=0，求证：�+2�=90度.

证明：∵3（sin�）^2+2（sin�）^2=1

∴3（1-cos2�）/2+2（1- cos2�）/2=1

∴3cos2�+2 cos2�=3

∴2cos2�=3（1- cos2�）＞0

∴3 cos2�=3-2 cos2�＞0 ∴2�、2�∈（0，�/2）

又3sin2�-2Sin2�=0 ∴3/Sin2�=2/sin2�

构造⊿ABC，使A=2�，B=2�,BC=2,则AC=3

由推论6得，AB=ACcos2�+BCcos2�

= 3cos2�+2cos2�=3

∴AB=AC ∴⊿ABC为等腰三角形.

∴C=B=2�

而在⊿ABC中，A+B+C=2�+2�+2�=180度

∴�+2�=90度

结论：①推论6为著名的射影定理。

②应用：可处理边、角、弦三者的转化问题。