初中阶段，数学圆的定理与推论是几何学的重要组成部分。首先，不在同一直线上的三点可以确定一个圆，这是基本的圆的性质之一。垂径定理指出，垂直于弦的直径会平分这条弦，同时也会平分弦所对的两条弧。对于推论，如果一条弦被直径平分，则这条直径垂直于弦，并且会平分弦所对的两条弧。此外，弦的垂直平分线也必须经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。圆的两条平行弦所夹的弧相等，这是垂径定理的延伸。

圆是一个中心对称图形，其定义为所有到定点距离相等的点的集合。圆的内部和外部也可以通过到圆心的距离来定义。同圆或等圆的半径相等，这为后续的几何证明提供了基础。到定点的距离等于定长的点的轨迹是一个以定点为圆心，定长为半径的圆。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦的弦心距也相等。

圆的内接四边形的对角互补，任何一个外角都等于它的内对角。直线与圆的位置关系分为相交、相切和相离，其判定依据是圆心到直线的距离与圆的半径的关系。切线的判定定理指出，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，而切线的性质定理则表明圆的切线垂直于经过切点的半径。切线长定理指出，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

高中阶段，圆周角和圆心角的性质和定理更加丰富。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。直径所对的圆周角是直角，而90度的圆周角所对的弦是直径。如果一条弧的长是另一条弧的两倍，那么其所对的圆周角和圆心角也都是另一条弧的两倍。有关外接圆和内切圆的性质和定理包括，一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆，外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等。

切线的性质和定理进一步丰富了对圆的理解。圆的切线垂直于过切点的半径，经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线。切线长定理指出，从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。圆的周长和面积公式分别为C=2πr和S=πr^2。