圆，这一几何学中的基本形状，蕴含着丰富的性质与定理。以下是对圆的一些基本性质和定理的润色与修正：

1. 点与圆的位置关系：

点P位于圆O外时，线段OP（点P到圆心O的距离）大于圆的半径r；

点P位于圆O上时，线段OP等于圆的半径r；

点P位于圆O内时，线段OP小于圆的半径r。

2. 圆的对称性：

圆是轴对称图形，任何通过圆心的直线都是其对称轴；

圆也是中心对称图形，其对称中心即为圆心。

3. 垂径定理及其逆定理：

垂直于弦的直径将弦平分，并且平分弦所对的弧；

平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

4. 同圆或等圆中的性质：

在同一个或等圆中，若两个圆心角、两个圆周角、两条弧或两条弦中有一组量相等，则其余各组量也分别相等。

5. 弧与圆周角的关系：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

6. 直径所对的圆周角：

直径所对的圆周角是直角；

90度的圆周角所对的弦是直径。

7. 确定圆的条件：

不在同一直线上的三个点确定一个圆。

8. 三角形与圆的关系：

一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆；

外接圆的圆心是三角形各边垂直平分线的交点，且到三角形三个顶点的距离相等；

内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，且到三角形三边的距离相等。

9. 直线与圆的位置关系：

直线AB与圆O相离时，直线到圆心的距离PO大于圆的半径r；

直线AB与圆O相切时，直线到圆心的距离PO等于圆的半径r；

直线AB与圆O相交时，直线到圆心的距离PO小于圆的半径r。

10. 圆的切线性质：

圆的切线垂直于过切点的半径；

经过直径的一端，且垂直于这条直径的直线，是圆的切线。

11. 圆与圆的位置关系：

外离时，两圆的圆心距大于两圆半径之和；

外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和；

相交时，两圆的圆心距大于两圆半径之差且小于两圆半径之和；

内切时，两圆的圆心距等于两圆半径之差；

内含时，两圆的圆心距小于两圆半径之差。

圆的相关计算公式：

1. 圆的周长C=2πr=πd；

2. 圆的面积S=πr²；

3. 扇形的弧长l=nπr/180；

4. 扇形的面积S=nπr²/360=rl/2；

5. 圆锥的侧面积S=πrl。

通过以上润色与修正，确保了文本内容的准确性和条理性，同时提升了内容的质量。