我们熟知的完全平方公式为：(a+b)2=a2+2ab+b2。通过多项式乘法，我们可以进一步推导出(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3。从这两个展开式中，我们可以发现几个规律：项数比次数多1；字母a按降幂排列，第一项的a指数等于二项式的次数；字母b按升幂排列，末项b的指数等于二项式的次数；各项中a、b指数和等于二项式的次数。另外，首末两项系数为1；中间系数由前项系数相加得出。
依据上述规律，(a+b)4的展开式系数为1 4 6 4 1。结合项数与次数的规律，得出(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4。通过多项式乘法验证，此结果正确。我们还可以利用此规律推出(a+b)5展开式，即(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5。
上述系数表在我国宋朝数学家杨辉的著作《详解九章算法》中有所记载，也有人称其为杨辉三角或贾宪三角。我们还可以进一步推广二项式的平方公式至三数和、四数和的情形。比如(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd。
利用上述公式，我们可以解决一些具体的问题，如计算(a+2b-c)2、(2x-y+3z)2、(a+b-c-d)2、(x-2y-z+2w)2等。这不仅有助于理解和掌握完全平方公式的应用，也能提高多项式乘法的计算能力。
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