从今天开始，我们一起来探索格密码 (Lattice based cryptography) 的世界。你或许对“格”这个概念感到陌生，但请相信，一旦了解到它在构建同态加密等热门领域的应用，你一定会对其产生浓厚兴趣。接下来几天，我们将深入学习格密码的基石，Lecturer 1，即格的基础介绍，涵盖四大方面。

本篇首先聚焦于“格”的定义。在数学领域，格是由周期结构点集合组成的 [公式] 维空间，它们以特定方式排列。格的起源可以追溯到 18 世纪末，数学家 Lagrange、Gauss 和 Minkowski 等人对其进行了深入研究。如今，格理论作为算法工具在计算机科学中大放异彩，尤其在密码学和密码分析领域展现出独特优势。

正式地，格定义如下：给定 [公式] 个线性无关向量 [公式] ，由这些向量产生的格由所有线性组合构成。等价地，如果定义 [公式] 为 [公式] 矩阵，其列是 [公式] ，那么 [公式] 产生的格为 [公式] 。格的秩为 [公式]，维数为 [公式]。特别地，当 [公式] 时，称为满格。

接下来，我们通过实例加深对格的理解：格中基向量的所有线性组合构成其空间。对于任意格基 [公式] ，我们定义的基本区域展示了空间的结构。格的“basis”如何判断？引理指出，生成“basic parallelepiped”的向量集合不应包含除原点外的其他格点。由此，我们进一步探讨了两个给定“basis”是否等价的问题。

幺模矩阵的引入为解答该问题提供了可能。一个矩阵称为幺模矩阵，当其为 [公式] 时。引理表明，两个“basis”等价的充分必要条件是存在某个幺模矩阵 [公式] ，使得 [公式] 。我们进一步推导出，如果 [公式] 表示格的行列式，它能有效衡量格的密度，且与格的大小密切相关。

文章将逐步深入，提供更多格理论的核心概念。在接下来的课程中，我们将继续探索格密码的奥秘，并在另一个专栏中专门解析经典同态加密技术，如 BFV、BGV、CKKS、DBFV 等，同时结合 Lattigo 库的代码解读，为读者提供全面深入的学习资源。

本节内容涵盖了格的基础概念及其应用，为后续深入学习打下了坚实的基础。未来课程将逐步展开，敬请期待。感谢您陪伴我们一同探索格密码的奇妙世界，下一次再见！