取Ker(B)=V的一组基为e1，e2，...，ek，k=p--r(B)。注意到V是U的一个子空间，因此可将e1，...，ek扩充为U的一组基e1，....，ek，e(k+1)，...，es，s=p--r(AB)。

下面证明W=span{Be(k+1)，....，Bes}定义为空间M。首先证明M的张成向量是无关的。设

x(k+1)Be(k+1)+....xsBes=0，即B(x(k+1)e(k+1)+...+xses)=0，于是存在x1，x2，...，xk使得

x(k+1)e(k+1)+...+xses=x1e1+....+xkex，由于ei是基。故所有的系数xi=0，因此M的张成向量是无关的。另外，对任意的x位于U，x可写成x=x1e1+....+xses，因此

Bx=x(k+1)Be(k+1)+....+xsBes，即M=W，于是W的维数=s--k=p--r(AB)--(p--r(B))=r(B)--r(AB)。