在数学中，曲线的弯曲程度用曲率来衡量。计算曲线的曲率是一个基本但重要的概念，它可以帮助我们理解曲线在某一点的弯曲程度。曲率的公式通常基于曲线在该点的切线和法线。对于参数方程定义的曲线 \( \mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t)) \)，其曲率 \( k \) 可以通过以下公式计算：

\[ k = \frac{|(r'(t) \times r''(t)) \cdot r'(t)|}{(r'(t) \cdot r'(t))^{\frac{3}{2}}} \]

其中，\( r'(t) \) 是曲线在参数 \( t \) 的导数，代表切线方向，\( r''(t) \) 是切线的二阶导数，代表曲率的变化率。交叉乘积 \( r'(t) \times r''(t) \) 计算出的是垂直于切线的法线方向的向量，其与切线的点积则给出了曲率的大小，而分母则是切线长度的三次方，用来标准化曲率的单位。这个公式对于理解曲线在不同点的局部形状至关重要。

如果曲线是二维的，比如在平面直角坐标系中的 \( y = f(x) \)，那么公式会简化为仅涉及 \( x \) 和 \( y \) 的导数：

\[ k = \frac{|f''(x)|}{(1 + [f'(x)]^2)^\frac{3}{2}} \]

总之，曲率的计算公式根据曲线的维度和参数化方式有所不同，但核心思想是通过导数和向量运算来度量曲线的弯曲程度。理解这个公式对于处理各种几何和物理问题时分析曲线动态至关重要。