在实际应用中，泰勒公式通常需要进行截断，只保留有限项，这些有限项的泰勒级数被称作泰勒展开式。泰勒展开式的应用范围广泛，其重要性体现在多个方面。首先，幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此利用泰勒展开式求和函数相对较为简便，便于我们进行数学计算和分析。其次，解析函数可以通过泰勒展开式被延伸为定义在复平面上的一个开片上的解析函数，这使得复分析的手法得以实现，从而在复数领域中展开更为深入的研究。

泰勒展开式还可以用来近似计算函数的值，并且可以估计误差，这对于解决实际问题具有重要意义。例如，在物理、工程等领域中，我们可以通过泰勒展开式来近似计算某些复杂函数的值，从而简化计算过程。同时，利用泰勒展开式还可以估计计算结果的误差范围，从而提高计算的准确性和可靠性。

此外，泰勒展开式在证明不等式方面也发挥着重要作用。通过构造适当的泰勒展开式，可以将复杂的不等式转化为简单的代数不等式，从而更容易地进行证明。最后，泰勒展开式还可以用来求待定式的极限，通过将待定式展开为泰勒级数，可以方便地求出极限值，这对于解决一些复杂的极限问题具有重要意义。

综上所述，泰勒展开式在数学和应用领域中扮演着重要角色，其应用范围和重要性远远超出了单纯的数学理论研究。通过深入理解和掌握泰勒展开式的性质和应用方法，我们可以在多个领域中更好地应用泰勒展开式，解决实际问题。