你这里的

“可积”

和

“有原函数”

是两个概念，并不矛盾。

　　这里的

“可积”

指的是

“Riemann可积”，即可求定积分，你提到的定理

2

给出了一个可积函数类。而

“f(x)

有原函数”

指的是

“存在函数

F(x)，使

F‘(x)

=

f(x)”。可求定积分的函数未必有原函数，例如

Riemann

函数

　　　　R(x)

=

1/q，x

=

p/q，p

与

q

是互质的整数，

　　　　　　=

0，

x

为无理数，

在

[0,

1]

是可积的，但没有原函数。

　　你的

“有第一类间断点的函数一定没有原函数”

我没有找到反例，但我有一个有第二类间断点的函数有原函数的例子：

　　　　F(x)

=

(x^2)sin(1/x)，x≠0，

　　　　　　=

0，

x=0，

其导函数

　　　　F’(x)

=

2xsin(1/x)

-

cos(1/x)，x≠0，

=

0，

x=0，

在

x=0

有第二类间断点。