岩宝提示：标准正交基在考研中是得分关键，但勿忘基础定义的重要性。正交向量组由非零向量构成，相互垂直，并且线性无关。若向量组[公式]满足[公式]，则通过内积计算可得[公式]，进而推断出最多只能有n个两两正交的非零向量，这在二维和三维空间中有着直观的几何解释。

正交基和标准正交基的定义分别为：n维欧氏空间中，n个正交向量组构成正交基，而单位向量组成的正交基被称为标准正交基。正交矩阵AA'等于单位矩阵E，是矩阵的性质之一。

定理1阐述了任何正交向量组都能扩展成正交基，通过数学归纳法证明了这一结论。定理2则强调，任何基[公式]都能转换为标准正交基[公式]，通过逐步求解并应用施密特正交化过程。

举例中，我们展示了如何将矩阵向量组标准化和求标准正交基，以及内积性质的验证和应用。通过具体问题，理解和应用这些理论非常重要。