当我们讨论函数 \( f(x) \) 的导数时，一阶导数 \( f'(x) \) 的导数，也就是 \( f(x) \) 的二阶导数，通常表示为 \( f''(x) \)。这是一个递归的概念，可以通过归纳法来理解：函数 \( f(x) \) 的 \( n \) 阶导数 \( f^{(n)}(x) \) 的导数即为 \( f(x) \) 的 \( (n+1) \) 阶导数 \( f^{(n+1)}(x) \)。

对于乘积函数，一个重要的公式是莱布尼茨法则。如果 \( u(x) \) 和 \( v(x) \) 都是关于 \( x \) 的函数，并且各自都有 \( n \) 阶导数，那么它们的乘积 \( u(x) \cdot v(x) \) 的 \( n \) 阶导数可以通过下面的公式计算：\[ \frac{d^n}{dx^n}(u(x)v(x)) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)}(x)v^{(n-k)}(x) \] 这个公式展示了高阶导数之间的关系，展示了乘积函数导数的复杂性，但同时也提供了一种计算方法。

扩展资料

微分学与积分学联系密切，共同组成分析学的一个基本分支──微积分学。