证明在某组标准正交基下的矩阵为对称阵就相当于证明了在任意一组标准正交基下的矩阵为对称阵了.

设T为这个对称变换,α1 α2 α3 ...αn,β1 β2 β3 ...βn分表为两组标准正交基,α到β的过渡阵为Q,标准正交基之间的过渡矩阵为正交阵,故Q可逆,且Q'=Q^(-1).

即有：(β1 β2 β3 ...βn)=(α1 α2 α3 ...αn)Q

若T在α1 α2 α3 ...αn下的矩阵为对称阵,即T(α1 α2 α3 ...αn)=(α1 α2 α3 ...αn)A（A'=A）

则T(β1 β2 β3 ...βn)=(β1 β2 β3 ...βn)B=[T(α1 α2 α3 ...αn)]Q

=(α1 α2 α3 ...αn)AQ=(β1 β2 β3 ...βn)Q^(-1)AQ,即B=Q^(-1)AQ.

因为A'=A,所以B'=[Q^(-1)AQ]'=Q'A'[Q^(-1)]'=Q^(-1)AQ''=Q^(-1)AQ=B.