泰勒公式，一种数学工具，用于将复杂函数在某个点附近进行近似，助于理解函数的局部性质。广泛应用于物理、工程、经济学和生物学等领域，简化复杂计算或分析问题。

泰勒公式形式为：f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^n(a)(x-a)^n!（n为正整数）。

当求解函数在某点的近似值，可利用泰勒公式展开为多项式形式，进行进一步分析。例如，计算函数在某点的斜率或曲率。

使用泰勒公式需满足函数在x0邻域有n+1阶导数，邻域表示为（x0-a,x0+a）。余项描述误差，拉格朗日型或佩亚诺型，随n增大趋于零，通过增加项数降低误差。

马克劳林公式是泰勒公式的特例，x0=0。条件是函数在展开点附近任意阶可导，且余项趋于零。

泰勒展开式将函数利用关于(x-x0)的n次多项式逼近，描述其附近值。函数足够平滑时，利用各阶导数值构建多项式近似函数。

泰勒公式由英国数学家布鲁克·泰勒提出，用于研究复杂函数性质，化繁为简，成为高等数学中重要的分析工具。

泰勒公式在数学问题解决中发挥关键作用，通过近似复杂函数为多项式，简化计算与分析。它不仅在理论研究中应用广泛，也是实际问题解决的重要手段。