.任取y∈f(A∪B),则存在x属于A∪B,使得y=f(x).

则x∈A或者x∈B,所以,y=f(x)∈f(A)或者y=f(x)∈f(B).

所以y∈f(A)∪f(B).所以f(A∪B)包含于f(A)∪f(B)

任取y∈f(A)∪f(B),则y属于f(A)或者f(B)所以存在x∈A或者B使得f(x)=y.

即x∈A∪B.所以y∈f(A∪B).所以f(A)∪f(B)包含于f(A∪B)

所以f(A∪B)=f(A)∪f(B);