期望是衡量随机变量平均取值的集中位置，它是随机变量取值的平均水平，反映了概率分布的中心趋势。期望的计算公式为：

方差用来度量随机变量与其期望值的偏离程度，反映了数据的分散程度。方差的计算公式为：

协方差用于度量两个随机变量之间的联合变化程度，反映变量变化时是同向还是反向。协方差的计算公式为：。方差是协方差的一个特殊情形，即变量与自身协方差，表示单个变量的变化程度。

相关系数是协方差经过标准化处理后得到的结果，消除了量纲影响，用于衡量两个变量之间的线性相关程度。相关系数的计算公式为：。它在-1到1之间取值，接近1表示正相关，接近-1表示负相关，接近0表示无相关。

离散随机变量的期望和方差计算通常利用求和公式，具体公式为：和。

连续随机变量的期望和方差则用积分公式计算，具体为：和。

协方差和相关系数的性质如下：

期望的性质包括：

(1) 预期值是线性的，即期望(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)。

(2) 期望值对于常数是不变的，即E(a) = a。

(3) 预期值的期望等于随机变量本身，即E(E(X)) = E(X)。

(4) 若X和Y相互独立，则E(XY) = E(X)E(Y)。

方差的性质包括：

(1) 方差总是非负的。

(2) 方差对于常数是不变的，即Var(a) = 0。

(3) 方差是期望值的期望的平方减去随机变量期望值的平方，即Var(X) = E[(X - E(X))^2]。

(4) 若X和Y相互独立，则Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)。

(5) 若X和Y相互独立，则Cov(X,Y) = 0。

关于性质5的证明，通常涉及到方差的定义和独立随机变量的性质，具体证明步骤如下：

由于X和Y相互独立，可以得出E(XY) = E(X)E(Y)。因此，Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0。

对于协方差和相关系数的性质，它们通常包含线性性质、范围限制、对称性等。相关系数在-1到1之间取值，且满足：

(1) 相关系数是线性的，即若Z = aX + bY，则corr(Z, W) = corr(aX + bY, W) = corr(X, corr(Y, W))。

(2) 相关系数满足范围限制，即-1 <= corr(X, Y) <= 1。

(3) 相关系数是相关性的度量，即corr(X, Y) = corr(Y, X)。

通过这些公式和性质，我们可以深入理解和分析随机变量之间的关系，从而在统计学、概率论以及数据分析等领域进行有效的决策和预测。