极限值在高等数学中有重要的应用，它描述了函数在特定自变量趋势下的行为。求解极限值的方法多种多样，每种方法都有其适用场景。直接求极限是最直接的方式，适用于一些简单函数，如当 x 趋近于 0 时，sin x 的极限值为 0；当 x 趋近于 π/2 时，cos x 的极限值为 -1。

利用极限的性质可以简化求解过程。例如，如果一个函数在某一点的极限值为 0，那么在该点附近，函数值会趋于 0。数列极限的求解方法与函数极限类似，可以利用数列的性质和求和公式等手段。例如，等差数列 {a_n} 的极限值为 ln(1 + ε)，其中 ε 为公差。

对于无穷级数 {a_n}，可以利用级数的收敛性判断方法，如比较判别法、根值判别法等，求出级数的和，从而得到极限值。洛必达法则适用于极限形式为 "0/0" 或 "∞/∞" 的情况。若函数在某一点的极限形式为 "0/0"，则该点的极限值为 0；若为 "∞/∞"，则该点的极限值为 1。

泰勒公式是求解复杂函数极限的有效工具。通过将函数展开为幂级数，可以简化求解过程。构造函数法则是指通过构造新的函数来简化原函数的求极限过程。例如，将原函数转化为另一个更容易求极限的函数，从而得到原函数的极限值。求解极限值时，需灵活运用多种方法和技巧，根据具体情况选择合适的方法。在实际求解过程中，注意审题、判断函数性质以及合理运用数学工具。