二次型作为科学研究的重要主题，其本质是含有n个变量的二次齐次函数。二次型有两种常见的表示形式，即多项式和矩阵形式。随着现代计算技术的迅速发展，矩阵计算变得更为便捷，通过使用计算器等工具，研究人员能从矩阵层面获取更多关于二次型的洞察信息。因此，通过矩阵研究二次型，显得尤为重要。

在研究二次型时，最重要的操作之一是变量替换，即X=CY，其中X为变向量在自然基（单位矩阵E）中的坐标，C为替换基矩阵，Y则是该变向量在替换基下的坐标。这种替换下的二次型矩阵A的变形，即AC=B，被称为合同变换。值得注意的是，C作为基矩阵，必须满足满秩条件，因此C也可称为合同变换矩阵。

合同变换的主要目的是简化矩阵。在代数领域，有定理表明，任何非零矩阵A可以通过有限次初等变换变为对角矩阵，并进一步简化为规范形（对角元仅为1，0或-1的对角矩阵）。这里的初等变换保持矩阵的秩不变，具体包括对换行/列、伸缩以及消元等操作。合同变换在矩阵的对称性下，以对称的方式对行和列进行变换，确保了变换过程的对称性。通过合同变换，我们得到以下三个关键点：矩阵的秩不变，矩阵的对称性不变，以及不会改变标准形中任一对角元的正负性。

具体来说，合同变换可以通过以下步骤进行。首先，将矩阵A与同阶单位矩阵E组合成H的形式，对A进行初等行变换，同时对H进行相应的初等列变换，重复此过程直至A简化为标准形B，此时E也通过相同的列变换转换为矩阵C。通过C和A进行的列变换与行变换，实现了矩阵A的合同变换，表示为AC=B。

在某些情况下，如果A的对角元均为0，可进行辅助的合同变换A'=B，然后对B继续进行类似步骤，直至A简化为标准形。根据合同变换的传递性，若A合同于B且B合同于D，则A也合同于D，表示为AC=D。

通过合同变换，二次型矩阵A最终被简化为规范形。二次型可以被划分为三大类：正（负）定二次型、半定二次型和不定二次型。规范形中的对角元只包含1，-1或0，它们的数量是确定的，分别称为正（负）惯性指数。

二次型的直观图形可以通过数值变化得到体现。二次型f=g（g为常数）的变化描绘了一系列以原点为中心的图形。通过观察二元二次型的图像，橙色平面表示等高平面与曲面的截线。正（负）定二次型的截线封闭，属于椭圆系列；不定二次型截线无界，属于双曲线系列；半定二次型规范形含0系数，表示为f=a1x^2+a2y^2+...+0x^2+...，其中0项称为自由项，可任意取值，此类二次型的截线无界，但在某些方向上有界。

二次型的简化归根结底在于改变线性空间的基。通过式AC=B，原始二次型矩阵A位于自然基中，而合同变换后的矩阵B的基矩阵为C。在观察B时，必须同时考虑其基，否则结果将失去意义。矩阵简化的过程使得二次型的表达式更加清晰，但同时坐标系变得复杂。对于复杂的坐标系，需要采用更具体的分析方法来理解二次型的实际形状和尺寸。

为了找到更理想的替换基，对于实对称矩阵，正交矩阵是一个理想的选择。正交矩阵由单位向量构成，两两正交，相当于单位矩阵E绕原点旋转一定角度。正交变换不会改变对象的尺寸和形状，只是以不同的视角观察对象。正交矩阵的转置等于其逆矩阵，即C^T = C。正交变换是二次型变换中最重要的一类，属于正交变换范畴。对于二次型的简化和分析，正交变换提供了强大的工具。

通过相似合同变换，我们可以进一步简化二次型的表示，使得其更易于理解和分析。例如，在简化矩阵A的案例中，我们首先观察合同变换基C，发现其列向量长度均为1，两两正交，但方向未正。通过C的变换，我们得到矩阵A简化为标准形B，表示为A'=B。这使得我们能够更直观地理解A简化后的具体形态，例如其为以特定向量为中心线的椭圆柱。

在简化过程中，我们还可以根据A的子式计算椭圆柱在水平面上的截线，以进一步了解其几何特征。这一系列分析步骤使得二次型的几何性质得以揭示，为科学研究提供了直观而深入的理解。