特征根法是解决常系数齐次线性微分方程的一种有效工具。它同样适用于推断递推数列的通项公式。我们称\( r^2 + p r + q = 0 \)为递推数列 \( a_{n+2} = p a_{n+1} + q a_n \) 的特征方程。

特征根法的步骤如下：

1. 假设特征方程 \( r^2 + p r + q = 0 \) 有两个不同的实根 \( r_1 \) 和 \( r_2 \)。

- 如果 \( r_1 \neq r_2 \)，则数列的通项公式为：

\[ y = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x} \]

- 如果 \( r_1 = r_2 \)，则数列的通项公式为：

\[ y = (c_1 + c_2 x) e^{r_1 x} \]

- 如果有一对共轭复根，则处理方式更为复杂，此处省略。

2. 如果特征方程有两个不等实根 \( r_1 \) 和 \( r_2 \)，则数列的通项 \( a_n \) 可以表示为：

\[ a_n = c_1 r_1^n + c_2 r_2^n \]

其中，常数 \( c_1 \) 和 \( c_2 \) 由初始值 \( a_1 \) 和 \( a_2 \) 唯一确定，满足以下方程组：

\[ \begin{cases}

c_1 r_1 + c_2 r_2 = a_1 \\

c_1 r_1^2 + c_2 r_2^2 = a_2

\end{cases} \]

3. 如果特征方程有两个相等的实根 \( r_1 = r_2 = r \)，则数列的通项 \( a_n \) 可以表示为：

\[ a_n = (c_1 + n c_2) r^n \]

其中，常数 \( c_1 \) 和 \( c_2 \) 由初始值 \( a_1 \) 和 \( a_2 \) 唯一确定，满足以下方程组：

\[ \begin{cases}

a_1 = (c_1 + c_2) r \\

a_2 = (c_1 + 2 c_2) r^2

\end{cases} \]

对于重特征根的情况，当矩阵 \( A \) 的特征根 \( \lambda_i \) 的重数为 \( n_i \)，对应的初等因子为 \( (\lambda - \lambda_i)^{k_1}, \ldots, (\lambda - \lambda_i)^{k_m} \)，其中 \( k_1 + \ldots + k_m = n_i \)，可以通过构造的线性无关解简化求解过程。这些解的结构形如 \( X_i(t) = (P_i_1(t), \ldots, P_i_n(t))' e^{\lambda_i t} \)，其中多项式 \( P_i_j(t) \) 的次数小于等于 \( M_i - 1 \)，其中 \( M_i \) 是 \( k_1, \ldots, k_m \) 中的最大值。

本文提出了一种简化的方法，利用相似矩阵的性质和Jordan标准型，找到了一个比 \( M_i - 1 \) 和 \( n_i - 1 \) 更易于应用的多项式次数上界，使得计算过程更加方便和高效。