二次曲线的分类基于方程中x, y的幂次与系数的不同：

圆的方程为x^2+y^2=a^2，其中x, y均为2次幂，符号相同且系数相同，这意味着圆上所有点到中心的距离相等。

椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，x, y均为2次幂，但符号相同且系数不同，这决定了椭圆的长短轴。

双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，x, y均为2次幂，但符号不同，这使得双曲线具有两条分支。

抛物线的方程为a*x^2-by=0，其中一个变量的一次幂与常数项相乘，表明抛物线的一个方向是无限延伸的。

二次曲面的分类则基于方程中x, y, z的幂次与系数的不同：

椭球面的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 =1，变量全为2次幂，符号全为正，表明它是一个闭合的曲面。

单叶双曲面的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 =1，变量全为2次幂，符号为2正1负，这使得曲面具有两个分支。

双叶双曲面的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = -1，变量全为2次幂，符号为2正2负，这同样使得曲面具有两个分支。

抛物曲面分为两种类型：

椭圆抛物面的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 =2z，缺少常数项，有一个变量的幂次为1，且3项全为正，表明曲面开口向上。

双曲抛物面的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 =2z，同样缺少常数项，有一个变量的幂次为1，且3项为2正1负，表明曲面具有两个开口。

柱面的方程为a*x^2+b*y^2 =c，缺少一个变量，表明柱面沿着某一方向无限延伸。