首先, 我们利用罗尔定理进行证明:

证明􀀁 由牛顿插值多项式定义可得, 函数

f ( x ) 在[ a, b] 上n + 1 个互异节点x 0 , x 1 , 􀀁, x n

上的牛顿n 次插值多项式为:

N n ( x ) = f ( x 0 ) + f [ x 0 , x 1 ] ( x - x 0 ) +

f [ x 0 , x 1 , x 2 ] ( x - x 0 ) ( x - x 1 ) + 􀀁+ f [ x 0 , x 1 ,

x 2 , 􀀁, x n ] ( x - x 0 ) ( x - x 1 ) 􀀁( x - x n- 1 ) 。

构造函数如下:

g( x ) = f ( x ) - N n ( x ) 。

由n 次插值多项式定义知: Nn ( x i ) = f ( x i ) ,

( i = 0, 1, 2, 􀀁, n) , 即g( x i ) = f ( x i ) - Nn ( x i ) =

0, ( i = 0, 1, 2, 􀀁, n ) , 故函数g ( x ) 在[ a, b ] 上有

( n + 1) 个不同零点。

又因为N n ( x ) 为[ a, b ] 上的n 次多项式, 所以

N n ( x ) 在[ a, b ] 上n 阶可导。

又由于f ( x ) 在[ a, b ] 上有n 阶导数, 故g( x )

在[ a, b] 上n 阶可导。

由罗尔定理可得, 在函数g ( x ) 的任意两个相

邻零点之间, 至少存在一个􀀁1 , 使得g􀀁( 􀀁1 ) = 0。

因此, 函数g􀀁( x ) 在( a , b) 上至少有n 个不同

的零点, 再次使用罗尔定理可得, 函数g􀀁( x ) 在( a,

b) 上至少有( n - 1) 个不同的零点。依次类推, 可

知, g

( n ) ( x ) 在( a, b ) 上至少有1 个零点, 不妨设该

零点为􀀁(kesai), 则g

( n) ( 􀀁) = 0 = f

( n) ( 􀀁) - N

( n )

n ( 􀀁) 。由

于N

( n)

n ( x ) = n ! f [ x 0 , x 1 , 􀀁, x n ] , 故f

( n ) ( 􀀁) =

n! f [ x 0 , x 1 , 􀀁, x n ] , 即f [ x 0 , x 1 , x 2 , 􀀁, x n ] =n !

f

( n ) ( 􀀁) , 􀀁 􀀁 [ a , b] 。