矩阵的初等变换包含行初等变换和列初等变换，主要形式有交换两行（列），将一行（列）乘以实数，以及将一行（列）的若干倍加到另一行（列）上。进行这些变换等同于原矩阵左（右）乘以一个初等矩阵。在分块矩阵中，类似定义，我们可对分块矩阵执行三种行（列）初等变换：交换两行（列），用非零矩阵乘某一行（列）的子块，或把矩阵的某一行（列）的子块乘同一非零矩阵后加到另一行（列）上去。初等分块矩阵是通过单位分块矩阵进行上述变换得到的。分块矩阵的乘法运算引出了关键定理，即分块矩阵的行初等变换对应其左乘分块初等矩阵，列初等变换对应其右乘。针对分块矩阵，行列式的简单性质也得到了阐述。然而，某些情况下的初等变换无法通过初等分块矩阵实现，因此对等式正确性的证明仍需深入。通过初等变换和分块矩阵的性质，可以得到一些结论，如倍加行（列）操作不改变分块矩阵的行列式。在矩阵乘法的特殊性下，特别注意了初等变换过程中的矩阵左乘与右乘。通过一系列的性质和结论，我们深入探讨了矩阵的行列式。矩阵的行列式计算通过初等变换，可以转化为块三角矩阵的形式，进而得到矩阵的行列式公式。特别地，当矩阵可逆时，公式可以简化。在某些情况下，当矩阵可交换时，行列式计算进一步简化。通过这些结论，我们可以更深入地理解矩阵的初等变换与行列式的关系。最后，总结了一些关于矩阵初等变换与矩阵秩的简单结论，并指出未来可能的深入思考方向。