矩阵的秩和特征值之间存在着一种紧密的联系，可以互相反映对方。

1、对于一个n阶矩阵，其秩等于其非零特征值的个数。

2、如果一个n阶矩阵的所有特征值都不为零，则其秩为n。

3、如果一个n阶矩阵的一个特征值为零，则其秩小于n。

4、如果一个n阶矩阵的秩为r，则其最多有r个不同的非零特征值。

矩阵的特征值和秩的作用：

在实际问题中，矩阵的特征值和秩都有很多应用。例如，对于一个特定的矩阵，可以通过计算其特征值和特征向量来确定相应的物理量；同时，矩阵的秩也和一些实际问题有着密切的联系，例如线性方程组的解等等。因此，理解矩阵的特征值和秩之间的关系对于解决实际问题非常有帮助。