第一步，先求f(x)在x=0处的极限

=lim (x→0) ((1+x)-1)/(x·(√(1+x)+1) )

=lim 1/(√(1+x)+1)

=1/2

=f(0)

极限与函数值相等，说明f(x)在x=0处连续。

第二步，判断可导性

由于函数f(x)=(√(1+x)-1)/x 是由初等函数构造而成的，因此其左右导数都存在。

其导数的形式为

f'(x)=[(√(1+x)-1)/x]'=[1/(√(1+x)+1)]'= -(1/(2(√(1+x) ) )/(√(1+x)+1)² =(-1/2)·[√(1+x) + 2 + 1/√(1+x) ]

则f'(x) (x→0+) = f'(x) (x→0-) = -2

左右导数都存在且相等，则在该处导数存在。

第三步，再判断二阶导数。

令√(1+x)=t,则f'(x)=f'(1+x-1)=f'(t²-1)=(-1/2)·(t+2+1/t)

则f''(x)=d f'(x) /dx

=[d f'(x)/dt]·[dt/dx]

=[1-1/t²]·[1/(2(√(1+x) )]

=[1-1/(1+x)]·[1/(2(√(1+x) )]

∴当x=0时，可得f''(0)=0

二阶导数存在。

D