如果两个矩阵的约旦标准型(对角标准型如果有的话)是一样的，则这两个矩阵一定是相似的。这是一个充分必要条件。

证明：充分性：

P^-1AP=JA

Q^-1BQ=JB

因为JA=JB

P^-1AP=Q^-1BQ

QP^-1APQ^-1=B

(PQ^-1)^-1APQ^-1=B PQ^-1是一个可逆矩阵

即A,B相似

必要性：

B=PAP^-1

A=QJQ^-1 J是A的约旦标准型

所以 B=PQJQ^-1P^-1

所以 (PQ)^-1B(PQ)=J

所以A,B有相同的约旦标准型