矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，它们在许多数学领域都有广泛的应用。特征值是矩阵的一个重要属性，它表示矩阵在特征向量方向上的伸缩能力。特征向量则是指与特征值对应的非零向量，它可以用来描述矩阵对向量进行变换时的行为。

矩阵的特征值和特征向量之间的关系可以表示为Ax=λx，其中A是矩阵，λ是特征值，x是特征向量。这个公式表示矩阵A将特征向量x变换为与特征值λ相乘的新向量。因此，特征值和特征向量的作用是描述矩阵对向量进行变换时的行为，这种变换通常用于信号处理、图像处理、控制系统等领域。

在实际应用中，我们可以通过计算矩阵的特征值和特征向量来分析矩阵的性质和行为。例如，如果一个矩阵的所有特征值都是正数，那么该矩阵就是正定的；如果一个矩阵的特征值有一个为零，那么该矩阵就可以通过变换化为Jordan标准型。此外，特征值和特征向量还广泛应用于求解线性方程组、计算矩阵的逆、判断矩阵的稳定性等数学问题中。