勒贝格空间是由测度空间和一个正数定义的函数空间。在这个空间中，函数的积分具有特定的性质。如果在空间上有一个可测函数，且其满足一定条件，则称该函数为勒贝格可积的。由所有这样的函数构成的空间称为勒贝格空间。

勒贝格空间上定义了一个特殊的“距离函数”，这个函数满足绝对齐次性和平移不变性。当距离函数的指数为1时，它定义了一个范数，进而形成一个巴拿赫空间。当指数大于1时，它形成一个完备度量空间。

证明了这个距离函数满足特定性质，如绝对齐次性、平移不变性、以及对指数的依赖性。其中，当指数为1时，空间为巴拿赫空间，而当指数大于1时，空间为完备度量空间。这些性质通过证明函数子列几乎处处收敛到一个勒贝格可积函数，进而证明了空间的性质。

对于任意的函数子列，通过控制收敛定理，可以证明其几乎处处收敛到指定的勒贝格可积函数。此外，证明了当指数为1时，空间为巴拿赫空间，当指数大于1时，空间为完备度量空间。这些证明展示了勒贝格空间的性质和其在数学中的重要性。

综上所述，勒贝格空间是一个具有特殊性质的函数空间，通过定义和证明其性质，展示了其在数学中的重要性和应用。这些性质包括距离函数的特殊性质、范数的定义以及空间的分类（巴拿赫空间或完备度量空间）。通过深入理解这些性质，可以更好地运用勒贝格空间在数学分析、泛函分析等领域中。