左右导数是函数在某点左侧与右侧的极限变化率，具体来说，函数在某点左侧的变化率被称为左导数，右侧的变化率被称为右导数。如果左右导数在该点相等，则该点的导数存在，这与极限存在的充要条件——左右极限存在且相等相吻合。由此可知，如果函数f(x)在某个区间(a,b)中的每一点都可导，则f(x)在这个区间上可导，可以建立一个导函数f'(x)来描述这个变化率。

更进一步，如果函数f(x)在区间(a,b)内可导，并且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则可以认为函数f(x)在闭区间[a,b]上可导，此时f'(x)就成为这个闭区间上的导函数。然而，如果函数的定义域是全体实数，即在所有的实数范围内都有定义，这样的函数是否在定义域内处处可导呢？答案是否定的。

函数在定义域内的某一点可导，需要满足一个关键条件，即该点的左右两侧导数都存在且相等。这一结论是基于极限存在性的一个基本定理——如果极限存在，则其左右极限必须相等。因此，对于一个给定的点，如果其左右导数存在且相等，那么该点可导。

另外，为了更好地理解导数的概念，我们可以引入极值的概念。如果在x=x0附近，函数f(x)的值比所有其他点的函数值都要大，那么我们称f(x0)是f(x)的一个极大值；反之，如果f(x0)的值比所有其他点的函数值都要小，那么我们称f(x0)是f(x)的一个极小值。极大值和极小值统称为极值，它们在函数图形上表现为曲线的峰值和谷值。

值得注意的是，极值点是自变量的值，而极值则是函数值。因此，找到极值点和极值的过程实际上是在寻找函数的峰值和谷值，这在实际应用中有着广泛的意义，例如在优化问题中，通过找到极值点来确定最优化方案。