积分判别法的证明

积分判别法，亦称柯西积分判别法或麦克劳林-柯西判别法，主要用于评估无穷级数收敛性。设函数f(x)在区间[M, +∞)内非负且单调递减，M为正整数，定义和式为S，级数S与反常积分∫_M^∞f(x)dx同敛散。

证明如下：首先定义实函数S，假设M=1，则S在区间[1, +∞)上连续、正且递减。定义序列S_n为：S_n = ∫_n^∞f(x)dx。

接着，有∫_a^bf(x)dx ≤ f(M)(b-a)且∫_a^bf(x)dx ≥ f(m)(b-a)，其中M为区间[a,b]上f(x)的最大值，m为最小值。因f(x)递减，故∫_n^(n+1)f(x)dx ≤ f(n+1)且∫_n^(n+1)f(x)dx ≥ f(n)。从而，有S_n ≥ S_(n+1)。

证明S_n单调性：S_n为递减数列。证明S_n有界性：S_n ≤ f(1)。由此知，S_n为单调有界数列，故收敛。

回顾S定义：当n趋近无穷大时，S转换为积分。这意味着S可以表示为收敛的不定积分与实数之和，若不定积分收敛，S亦收敛；反之若不定积分发散，则S亦发散。综上，若f(x)在区间[1, +∞)内连续、正且递减，则S和不定积分∫_1^∞f(x)dx要么同时收敛，要么同时发散。