由已知, 存在正交矩阵Q使得 Q^TAQ=B

因为 A是对称矩阵

所以 A^T=A

所以 B^T = (Q^TAQ)^T

= Q^TA^T(Q^T)^T

= Q^TAQ

= B

所以B为对称矩阵.

又因为A为实矩阵, 则其特征值都是实数, 故特征向量为实向量

所以Q是实矩阵

所以 B=Q^TAQ 是实对称矩阵