结论是：介值定理展示了在闭区间[a, b]上连续函数的重要性质，其证明涉及实数的完备性以及连续性的直观应用。以下是该定理的直观阐述：

首先，我们来看一个证明例子。当函数f在区间[a, b]内满足f(a) < u < f(b)，我们考虑集合S，其中包含所有使得f(x) u的x值。由于a和b都是S的边界，非空集合S的上确界c存在，即最小的大于或等于S中每个元素的数。现在，由于f的连续性，存在一个δ>0，使得当x接近c时，f(x)与f(c)的差距小于ε。选取ε>0，我们可以找到a'和c'，使得f(c) < f(a')+ε < u，从而证明f(c)实际上就是u，这是唯一可能的值。

另外，非标准分析提供了介值定理的另一种证明方法，它以直观的方式处理无限小量。这个方法在严格的基础上，为理解定理提供了更深层次的洞察。

实际上，介值定理的应用非常广泛。它指出，对于在闭区间[a, b]上的连续函数f(x)，无论ζ取其最大值M与最小值m之间的任何实数，总能找到一个点c，使得f(c)等于ζ。当M=m时，结论显然成立。如果m < M，通过构造新函数g(x)=f(x)-ζ并应用零点存在定理，我们可以找到f(c) = ζ的点c。

总的来说，介值定理是连续函数性质的一个重要体现，它的证明过程展示了实数的性质以及函数连续性的力量。