条件概率与随机过程是概率论与统计学中的核心概念。本文将详细解释这些概念，包括它们的定义、性质以及在随机过程中的应用。

1. **连续随机变量的条件概率与期望**：

条件概率是已知一个事件发生的情况下，另一个事件发生的概率。条件期望则是在给定某些信息的情况下，随机变量的期望值。这两个概念可以通过公式表述为：

\[P(X|Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)}\]

\[E[X|Y] = \int x \cdot f(x|y) dx\]

其中，\(P(X|Y)\) 表示在事件Y发生的条件下事件X发生的概率，\(E[X|Y]\) 表示在事件Y的条件下随机变量X的期望值。

2. **条件概率的性质**：

条件概率具有一系列性质，包括：

- 贝叶斯定理：\[P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}\]

- 条件概率与联合概率的关系：\[P(A \cap B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)\]

- 条件概率的单调性：如果A包含于B，则\[P(A|B) \geq P(A)\]

3. **随机过程概述**：

随机过程是时间上的随机变量序列，描述了随时间变化的随机现象。它分为两部分：在特定时间点的随机变量和时间序列上的路径。 Filtration集合则代表了随时间逐渐增加的信息集。

4. **随机过程的性质**：

随机过程的性质包括平稳性、独立增量等。平稳性意味着随机过程的分布不随时间变化，独立增量意味着后续的增量相互独立。

5. **Markov链与随机游动**：

Markov链是一种特殊的随机过程，其未来状态仅依赖于当前状态，与历史状态无关。简单对称随机游动是一种Markov链，其转移概率和转移密度分别描述了离散和连续情形下的状态转移。

6. **期望与线性性**：

在已知前n次结果的情况下，期望的线性性质可以用于预测未来的期望值。

7. **赌徒问题与Martingale**：

赌徒问题通过Martingale的概念，利用期望的线性性质与递推关系，可以求解最终赢钱的概率。

8. **Poisson过程**：

Poisson过程是一种描述随机事件发生频率的模型，通过指数分布构造，具有无记忆性。其增量遵循Poisson分布，描述了在给定时间内事件发生的次数。

通过这些概念的解释与应用，我们可以更深入地理解随机现象的统计规律与预测方法。