函数有界性的证明方法如下：

1，理论法：若f(x)在定义域[a,b]上连续，或者放宽到常义可积（有限个第一类间断点），则f(x)在[a,b]上必然有界。

2，计算法：切分（a,b)内连续，limx→a+f(x)存在，limx→b−f(x)存在，则f(x)在定义域[a,b]内有界。

3，运算规则判定：在边界极限不存在时，有界函数±±有界函数=有界函数（有限个，基本不会有无穷个，无穷是个难分高低的状态)有界x有界=有界。

知识扩展：

在数学和物理中，“有界性”通常是指一个量或现象的取值范围被某个界限所限制的性质。这种限制可能来自于内部的自然规律，或者来自于我们对某一特定问题的特定约束。

在数学中，有界性是一个重要的概念，特别是在实数理论和函数分析中。例如，我们知道在实数轴上，任何实数都有一个与之相关的上界和下界。对于任何给定的数x，存在一个最大的数b大于或等于x，和一个最小的数a小于或等于x，使得x在[a,b]这个区间内。这就是有界性的表现。

在函数分析中，我们常常关注函数的值域是否有界。如果一个函数的值域被限定在某个范围内，那么我们就说这个函数是有界的。例如，正弦函数和余弦函数在[-1,1]之间变化，所以我们说它们是有界的。相反，如果一个函数的值域可以取到无穷大，那么我们就说这个函数是无界的。

在物理学中，有界性通常与量子力学中的粒子行为有关。例如，在量子力学中，粒子的能量是有限的，只能在特定的能级之间跃迁。这些能级之间的差距是固定的，这就限制了粒子的能量可以取到的范围。因此，我们说粒子的能量具有有界性。

此外，有界性也可以用于描述系统的稳定性。例如，一个系统的动态行为可以通过微分方程来描述。如果这个微分方程的解是有界的，也就是说，系统的状态变量不会无限增长或减少，那么我们就说这个系统是稳定的。

总的来说，“有界性”是一种重要的数学和物理概念，用于描述量或现象的取值范围被限制的性质。这种限制可能来自于自然规律，也可能来自于我们对特定问题的特定约束。