用定积分的定义求极限，是数学分析领域的一种重要方法。它主要利用极限与定积分之间的紧密联系，通过极限运算来求解函数的定积分。

定积分的基本概念是将连续函数在区间上的积分视为无限多个微小矩形面积的和。当讨论函数在该区间上极限时，可以借助定积分的定义来处理。具体方法如下：

设函数\(f(x)\)在闭区间\[a, b\]上连续，且\(x\)属于该区间。利用定积分的定义，可以将函数\(f(x)\)在区间\[a, b\]上的定积分表示为极限：

\[\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x\]

其中，\(\Delta x=\frac{b-a}{n}\)，\(x_i^*\)为在区间\[x_{i-1}, x_i\]上的任一点，\(x_0=a\)，\(x_n=b\)。当\(n\)趋向于无穷大时，\(\Delta x\)无限逼近于零，上述极限表达式即为函数在区间\[a, b\]上的定积分。

若需求解极限问题，特别是涉及无穷区间或极限形式的积分，可以将原极限问题转化为定积分的形式。具体而言，将极限视为定积分的边界条件，通过积分计算得出结果。

以经典的\(f(x)=\frac{1}{x}\)，求\(x\)趋向于\(0\)时，\(\int_{\epsilon}^{1}\frac{1}{x}dx\)的极限为例：

\[\lim_{\epsilon\to0^+}\int_{\epsilon}^{1}\frac{1}{x}dx\]

\[\lim_{\epsilon\to0^+}\left[\ln|x|\right]_{\epsilon}^{1}\]

\[\lim_{\epsilon\to0^+}(\ln|1|-\ln|\epsilon|)\]

\[\lim_{\epsilon\to0^+}(-\ln|\epsilon|)\]

因此，该极限为正无穷。

通过上述步骤，我们可以清晰地看到如何利用定积分的定义来求解极限问题。这种方法不仅为解决复杂极限问题提供了有力工具，而且加深了对定积分和极限理论的理解。