Gronwall不等式在数学中是一个关键的不等式，用于处理积分方程和微分方程的解的估计。假设我们有两个非负函数f和g，以及一个函数h，使得以下等式成立：

∫₀^t f(s)ds ≤ g(t) + ∫₀^t h(s)g(s)ds

要证明f(t)满足以下不等式：

∫₀^t f(s)ds ≤ g(t) + ∫₀^t h(s)∫₀^s f(u)du ds

考虑构造函数F(t) = ∫₀^t f(s)ds，则有F'(t) = f(t)。根据题目条件，我们可以构造以下函数关系：

g(t) = F(t) + ∫₀^t h(s)F(s)ds

解微分方程g'(t) = h(t)g(t)，可以得到：

F(t) = g(t)exp(-∫₀^t h(s)ds)

于是构造函数F(t)的解为：

∫₀^t f(s)ds = g(t)exp(-∫₀^t h(s)ds) - g(0)

因此，我们得到了Gronwall不等式。若函数h递增，则可进一步得到不等式：

∫₀^t f(s)ds ≤ g(t)exp(∫₀^t h(s)ds) - g(0)

这就是Gronwall不等式的完整证明过程，它在解决和估计微分方程和积分方程的解的界提供了强大的工具。