初等旋转矩阵在数学中有着广泛的应用，主要体现在以下几个方面：

1. 几何变换：初等旋转矩阵可以用于描述二维或三维空间中的旋转变换。例如，我们可以使用旋转矩阵将一个向量或一个点从一个坐标系转换到另一个坐标系。这种变换在计算机图形学、机器人学和航空航天等领域中都有应用。

2. 线性代数：初等旋转矩阵是线性代数中的一个重要概念。它们可以用于研究向量空间的基变换，以及线性方程组的求解。此外，初等旋转矩阵还可以用于研究矩阵的特征值和特征向量。

3. 信号处理：在信号处理中，初等旋转矩阵可以用于分析信号的频率特性。例如，我们可以使用傅里叶变换将一个信号从时域转换到频域，然后使用初等旋转矩阵进行频率滤波。

4. 控制系统：在控制系统中，初等旋转矩阵可以用于分析系统的稳定性和可控性。例如，我们可以使用状态转移矩阵来描述系统的状态变化，然后使用初等旋转矩阵来分析系统的动态行为。

5. 优化问题：在优化问题中，初等旋转矩阵可以用于求解最优解。例如，我们可以使用初等旋转矩阵来调整搜索方向，以提高优化算法的效率。

6. 数据降维：在数据科学中，初等旋转矩阵可以用于数据降维。例如，我们可以使用主成分分析（PCA）方法将高维数据转换为低维数据，而PCA方法的核心就是使用初等旋转矩阵进行数据的旋转和缩放。

7. 图像处理：在图像处理中，初等旋转矩阵可以用于图像的旋转、翻转和缩放等操作。这些操作在图像编辑、图像识别和计算机视觉等领域中都有应用。

总的来说，初等旋转矩阵在数学中的应用非常广泛，它们不仅可以用于解决各种实际问题，也是理解和掌握许多数学理论的重要工具。