百位数和十位数相同，设为 $a$，则这个三位数可以表示为 $100a + 10a + b = 110a + b$，其中 $b$ 是个位数。

这个三位数是三的倍数，即它的各位数字之和必须是三的倍数。

这个三位数是五的因数，即个位数是 0 或 5。

根据第二个条件，我们可以列出以下可能的各位数字之和：3、6、9、12。

如果各位数字之和是 3，那么只有 $110a$ 是三的倍数，这意味着 $a$ 必须是 3 的倍数，而 $b$ 则可以是 0 或 3。因为个位数不能是 0，所以这种情况不存在。

如果各位数字之和是 6，那么 $b$ 可以是 0、3 或 6，而 $a$ 必须是 2 或 5 的倍数。因为百位数和十位数相同，所以 $a$ 不能是 5 的倍数，否则这个三位数将大于等于 555，超过了三位数的范围。因此，$a$ 只能是 2 的倍数，即 $a$ 可以是 2、4、6 或 8。当 $a=2$ 时，这个三位数为 220，不是 5 的因数；当 $a=4$ 时，这个三位数为 440，不是 3 的倍数；当 $a=6$ 时，这个三位数为 660，是一个符合条件的三位数；当 $a=8$ 时，这个三位数为 880，不是 5 的因数。因此，当各位数字之和为 6 时，有一个符合条件的三位数，即 660。

如果各位数字之和是 9，那么 $b$ 可以是 0、6 或 9，而 $a$ 必须是 3 的倍数。因为 $a$ 是百位数和十位数，所以它不能是 3 或 6 的倍数，否则这个三位数将大于等于 999，超过了三位数的范围。因此，$a$ 只能是 9 的倍数，即 $a=9$。当 $a=9$ 时，这个三位数为 990，是一个符合条件的三位数。

如果各位数字之和是 12，那么只有 $b$ 是三的倍数，这意味着 $b$ 必须是 3 或 6，但个位数不能是 0，因此 $b=6$。此时，$a$ 必须是 3 的倍数，而且不能是 9，因为这样将得到 996，不是 5 的因数。因此，$a

只能是 3，这样得到的三位数是 336，符合条件。

综上所述，共有三个符合条件的三位数：660、990 和 336。其中，990 是最大的符合条件的三位数。