函数的收敛半径和收敛区间是复变函数理论中的重要概念，它们描述了函数在其定义域内的行为。确定函数的收敛半径和收敛区间需要对函数的性质进行深入的研究。

首先，我们需要了解什么是收敛半径和收敛区间。在复平面上，如果一个函数在某个区域内的值趋向于某个固定的值，那么我们就说这个函数在这个区域内是收敛的。这个区域的边界就是这个函数的收敛半径。而收敛区间则是函数收敛的所有区域的并集。

确定函数的收敛半径通常需要使用洛朗级数。洛朗级数是一种将复变函数表示为无穷级数的方法，它可以帮助我们理解函数在复平面上的行为。通过计算洛朗级数的系数，我们可以得到函数的洛朗级数表示，然后通过分析这个级数的性质，我们可以确定函数的收敛半径。

确定函数的收敛区间则需要更复杂的方法。一种常用的方法是使用留数定理。留数定理是复变函数理论中的一个重要定理，它描述了在一个简单闭合曲线内部的积分与该曲线所围成的区域内的奇点的数量和位置之间的关系。通过计算函数在一个简单闭合曲线内部的积分，我们可以得到一个关于函数在该曲线内部行为的估计。然后，我们可以通过改变闭合曲线的形状和位置，得到函数在不同区域的行为估计，从而确定函数的收敛区间。

总的来说，确定函数的收敛半径和收敛区间是一个涉及到复变函数理论、洛朗级数、留数定理等多个数学领域的复杂问题。它需要对函数的性质进行深入的研究，同时也需要一定的数学技巧和经验。