均值不等式（也称为柯西-施瓦茨不等式）是向量空间中内积性质的一种数学不等式。首先，假设存在两个向量 x = (x₁, x₂, ..., xn) 和 y = (y₁, y₂, ..., yn)，它们的内积定义为：

⟨x, y⟩ = x₁y₁ + x₂y₂ + ... + xnyn

接下来，构造新向量 z = (a₁x₁ + b₁y₁, a₂x₂ + b₂y₂, ..., anxn + bnyₙ)，并计算其内积：

⟨z, z⟩ = (a₁x₁ + b₁y₁)² + (a₂x₂ + b₂y₂)² + ... + (anxn + bnyₙ)²

展开并合并项后，得到：

⟨z, z⟩ = (a₁²x₁² + 2a₁b₁x₁y₁ + b₁²y₁²) + (a₂²x₂² + 2a₂b₂x₂y₂ + b₂²y₂²) + ... + (an²xn² + 2anbnxnyn + bn²yn²)

注意到每个括号内项非负，因此：

⟨z, z⟩ ≥ 0

观察 a₁²x₁² + bn²yn²，它们为非负，且和为零当且仅当 a₁x₁ = bnyn。这意味着向量 z 的内积等于零时，向量 x 和 y 成比例。接着归一化向量 x 和 y，使其长度为单位长度，且得到 a₁x'₁/bn = y'₁/x'₁ = ... = anx'ₙ/bn = y'ₙ/x'ₙ。在归一化后，将这些相等关系代入原内积不等式中，得到：

⟨z, z⟩ = (a₁²x₁² + 2a₁b₁x₁y₁ + b₁²y₁²) + (a₂²x₂² + 2a₂b₂x₂y₂ + b₂²y₂²) + ... ≥ 0

将 a₁x'₁/bn = y'₁/x'₁ 等式代入第一项，简化后得到：

(a₁x'₁)² + 2(a₁x'₁)(yn) + (yn)² ≥ 0

对于所有 a₁ 和 yn 都成立，因此有

(x'₁)² + 2(x'₁)(yn) + (yn)² ≥ 0

这就是均值不等式的基本形式。推导过程中，基于向量内积和归一化思想，使得不等式成立。在不同数学领域，均值不等式的推导方法和证明技巧各有差异。