确定一个向量在给定基下的坐标，需要遵循以下步骤：

1.确定基向量：首先，我们需要确定一组线性无关的向量作为基。这些向量可以是任何满足线性无关条件的向量集合。例如，三维空间中的基向量可以是(1,0,0)、(0,1,0)和(0,0,1)。

2.将向量表示为基向量的线性组合：接下来，我们需要找到一个实数系数集合，使得该向量可以表示为基向量的线性组合。假设我们有一个向量v，我们可以将其表示为基向量的线性组合，即v=a1*b1+a2*b2+...+an*bn，其中a1、a2、...、an是实数系数，b1、b2、...、bn是基向量。

3.计算实数系数：为了确定向量v在给定基下的坐标，我们需要计算实数系数a1、a2、...、an。这可以通过将向量v与基向量进行点积运算来实现。具体来说，对于每个基向量bi，我们可以计算v·bi的值，然后将这些值除以bi的长度的平方（||bi||^2），得到的结果就是对应的实数系数ai。

4.得到向量在给定基下的坐标：一旦我们计算出实数系数ai，我们就可以得到向量v在给定基下的坐标。这些坐标就是ai的值。例如，如果我们使用三维空间中的基向量(1,0,0)、(0,1,0)和(0,0,1)，并且计算出实数系数a1=2、a2=3和a3=4，那么向量v在给定基下的坐标就是(2,3,4)。

需要注意的是，确定一个向量在给定基下的坐标是一个唯一且确定的过程。不同的基会导致不同的坐标表示，但它们都是等价的，即通过适当的变换可以将一个坐标系下的坐标转换为另一个坐标系下的坐标。