导数的概念及其几何意义

1. 导数的概念

设函数f在x及其近旁有定义，用Δx表示x的改变量，于是对应的函数值改变量为Δy。如果极限Δy/Δx存在，则称函数f在点x处可导。此极限值叫函数f在点x处的导数，记作f'(x)或df/dx。它表示函数在区间[x, x+Δx]之间的平均变化率，且当Δx趋近于0时的极限值。

2. 导数的几何意义

函数f在一点x的导数等于函数图形上对应点A的切线斜率。即f'(x) = tan(θ)，其中θ是过点A的切线的倾斜角。过点A的切线方程可以表示为y - f(x) = f'(x)(x - x)。

3. 导数的物理意义

函数f在x的导数是函数在该点处平均变化率的极限，即瞬时变化率。若函数f表示运动物体的路程，则f'(x)表示在时刻x的瞬时速度。

4. 导函数的概念

如果函数f在开区间(a, b)内每一点都可导，就说f在(a, b)内可导。这时，对于开区间(a, b)内每个确定的值x，都对应一个确定的导数f'(x)，这就在(a, b)内构成一个新的函数，此函数就称为f在(a, b)内的导函数，记作f'(x)或df/dx。即f'(x) = lim(Δx→0)(f(x+Δx) - f(x))/Δx。导数与导函数概念不同，导数是在一点处的导数f'(x)，导函数是某一区间(a, b)内的导数。导函数反映的是一般规律，而f'(x)等于某一数值时的导数是此规律中的特殊性。