高中数学直线与抛物线的应用：

问题：解答题

抛物线的光学性质揭示，由其焦点射出的光线经过反象后，沿平行于对称轴的肖向射出，反之亦然。假设抛物线C的顶点位于坐标原点，并以x轴为对称轴，开口朝右。光源位于点M，其射出一条平行于x轴的光线，该光线在抛物线C上点P(4,4)反射后，经过焦点F后射向点Q，再在C上反射后，沿平行于x轴的方向射出。该光线途中经过直线l: 2x-4y-17=0上的点N反射后，再次射向点。

任务：

(1)求解抛物线C的方程；

(2)计算PQ的长度；

(3)判断四边形MPQN是否为平行四边形，并给出证明或说明原因。

解答：

(1)设抛物线方程为y² = 2px。将点P(4,4)代入该方程，可得 p = 2。因此，抛物线C的方程为y² = 4x。

(2)为了计算PQ的长度，需要理解光线反射定律，同时借助于抛物线的几何性质。在本题中，光源到焦点的距离与反射点到焦点的距离相等，即MP = PF。同样，NQ = NF，因为光线在N点的反射遵循反射定律。利用这些信息，结合点P和Q的坐标，通过几何原理计算PQ的长度。

(3)要判断四边形MPQN是否为平行四边形，应检查其对边是否平行且相等。根据抛物线的光学性质和光线反射定律，MP和QN是平行的，同时考虑点M和点N的位置关系以及光线在抛物线和直线l上的反射路径，可以证明MP和QN的长度相等。同理，证明MQ和PN的平行性与相等性。因此，四边形MPQN是一个平行四边形。