公考培训机构的管理主要由教育行政部门负责，这包括教育局和人力资源和社会保障局等机构。各地的具体管理部门可能有所不同，因此，了解当地的相关规定至关重要。

教育行政部门对公考培训机构的管理涵盖了从资格审查到日常运营的多个环节。例如，培训机构是否具备合法的办学资质、教师是否具备相应的教学能力、培训课程设置是否合理等都属于其监管范围。

教育部门通常会制定一系列规定和标准，确保培训机构能够为考生提供优质的备考服务。这些规定可能包括培训机构的运营资质、教师的资格认证、课程内容的规范性等。

此外，教育部门还会定期对培训机构进行检查和评估，确保其教学质量和合规性。这些检查和评估有助于发现并解决问题，保障考生的利益。

人力资源和社会保障局也可能参与对公考培训机构的管理，尤其是在涉及就业指导和职业培训方面。他们可能会联合教育部门共同制定相关政策，以确保培训内容与市场需求相匹配。

值得注意的是，不同地区的具体管理职责分配可能会有所差异，因此，考生和培训机构在选择和运营时，应详细了解当地的管理规定。