级数研究的是无穷多个数相加的和的存在性，若和是无穷，则研究无意义。判断级数敛散性的方法有以下几种：

1. **无穷级数概念**：级数是无穷多个数相加的和，如级数为：a1 + a2 + a3 + ...。若级数存在和，则称为收敛级数；若不存在和，则称为发散级数。

2. **收敛的必要条件**：级数收敛的必要条件是其通项（第n项）为无穷小。如果通项的极限不等于0或不存在，级数发散。

3. **调和级数发散**：调和级数为1 + 1/2 + 1/3 + ...，通过比较调和级数与曲边梯形面积，可直观证明其发散。

4. **求和与极限**：通过求前n项和的极限来判断级数是否收敛。若极限存在，级数收敛；若极限不存在，级数发散。

**正项级数**：

- **定义**：正项级数的每一项都是非负的。

- **收敛性判断**：正项级数的前n项和形成单调递增数列。若存在上界，即级数收敛；若无上界，即级数发散。

**比较判别法**：

- **原理**：比较级数的通项与另一个已知收敛或发散的级数通项的相对速度。

- **应用**：通过比较级数通项与标准级数通项的极限速度，判断原级数的收敛性。如通项速度较慢的级数收敛，则原级数收敛；通项速度较快的级数发散，则原级数发散。

**比较级数常用**：

- **等比级数**（几何级数）和**P级数**是常用的参照级数。

**总结**：级数研究的核心是判断和的存在性。正项级数的判断通过比较判别法简化问题。选择合适的参照级数是关键。理解级数的基础概念和收敛的必要条件是学习级数的关键。