科 目：数学 知识点：连续间断、最值零点与介值定理 公众号：摆渡考研工作室 摆渡提供最优质的课程与资料

第一部分：连续与间断

连续性定义：函数在某点存在且在该点附近有定义时，若该函数的极限值等于该点的函数值，则函数在该点连续。

间断点定义：若函数在某点没有定义，或虽然有定义但极限值不存在，或虽然有定义且极限值存在但极限值不等于该点的函数值，则函数在该点间断，称为间断点。

可去间断点定义：函数在某点极限存在，但在该点没有定义，从而使得函数在该点不连续，但可以通过定义函数值来去除此间断。

跳跃间断点定义：函数在某点的左极限与右极限均存在，但不相等，使得该点不连续。

第一类间断点定义：若函数在某点的左极限与右极限存在，则该点为第一类间断点。

第二类间断点定义：除了第一类间断点外的任何间断点。

第二部分：最值、零点与介值定理

最大值与最小值定理：在闭区间上连续的函数必在该区间上有界，并且能够取得最大值和最小值。

零点定理：若函数在闭区间上连续，且在区间端点的函数值异号，则在该开区间内至少存在一点，使得该点函数值为零。

证明方程在（0,1）内至少有一个根：函数在闭区间[0,1]上连续，且函数值在端点为不同符号，根据零点定理，存在一点，使得函数值为零，即方程在（0,1）内至少有一个根。

介值定理：若函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同的函数值，那么对于区间内任意一个数，在该开区间内至少存在一点，使得函数值等于该数。

证明：构造新函数，利用零点定理证明介值定理成立。推论：闭区间上连续的函数值域为闭区间，其中最小值与最大值分别为函数在该区间上的最小值与最大值。