南京汉开书院是一所民办学校。据我所知，民办学校是由个人、社会团体或者其他非政府组织投资兴办的，与政府资助的公立学校有所区别。民办学校在办学过程中享有一定的自主权和管理权限，同时也需要遵守相关教育法律法规。关于南京汉开书院的具体情况，你可以参考相关的官方信息或者拨打学校的电话进行咨询。